Дворовая кошка не хочет все время быть в доме

Добрый день! Подскажите , пожалуйста, советом, те, кто разбирается в кошачьей психологии. Живем в съемном домике, во двор приходит кошка, которую мы стали подкармливать и она с нами подружилась - ластится, спокойно идет на руки. В скором времени мы хотим переехать в квартиру и забрать ее с собой, так как она ничья. Стали по тихоньку приучать ее к дому, запускаем, она спит у нас, кушает, стала ходить в лоток даже. Но есть проблема. Она просыпается в 3-4 часа ночи и начинает мяукать, чтобы ее выпустили на улицу. И так каждую ночь. Мы ее выпускаем, естественно. Потом утром она опять приходит и спит в доме. Возникает вопрос, когда мы заберем ее в квартиру, она не сможет никуда выходить. Это будет для нее стресс, наверное. Есть ли какие-то методы, как сделать ее жизнь в квартире интереснее и почему она все же каждую ночь рвется на улицу? Кошке около 5 лет, стерилизована.